Тригонометрия всегда славилась обилием похожих формул. Настолько похожих, что их легко перепутать и даже не заметить ошибки. В общем случае эту проблему не решить, однако один удобный приём всё же есть (для тех, кто знаком с формулой Эйлера).
Итак, формула Эйлера выглядит следующим образом:
С одной стороны в ней есть тригонометрия, что плохо, но с другой стороны — показательная функция, да притом ещё и с комплексной единицей (именно она нам и поможет). Благодаря этой формуле можно легко (даже в уме) вывести формулы для синуса суммы, косинуса суммы, возможно даже и других. Давайте сделаем замену в этой формуле:
Тогда исходная формула Эйлера станет такой:
Запомните до конца статьи это уравнение. Правую часть мы пока оставим (она нам в конечном итоге и даст сразу обе формулы: синус суммы, косинус суммы. А вот в левой части выполним такие преобразования (известны даже лентяям ещё из школьной программы):
Заметили, что в конце мы получили произведение двух экспонент? А что мешает снова разложить их по формуле Эйлера, с которой мы начинали? Смотрите:
и
В итоге вместо прежнего уравнения (которое я просил запомнить), мы получим следующее:
Теперь переходим к самому главному. В левой части, с которой мы всё ещё не закончили работать, раскроем скобки. При этом вспомним из теории комплексных чисел, что мнимая единица (i) в квадрате даёт минус единицу:
Но самое главное то, что после раскрытия скобок в левой части по-прежнему осталось комплексное число, как и в правой. А когда два комплексных числа равны друг другу? Когда реальная часть одного из них равна реальной части другого, и мнимая часть одного равна мнимой части другого.
и
В первом случае мы сразу получили готовую формулу косинуса суммы двух углов, а во втором случае предварительно сократим всё равнение на мнимую единицу. Тогда получим формулу и для синуса. Как видите, всё просто и не перепутаешь.